Estadística: Variables cualitativas.

Estadística:

Es un ciencia que utiliza datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Una estadística es también un conjunto de datos obtenidos a través de un estudio estadístico.

Cuando se realizan estudios con respecto a una población, a veces es necesario comparar dos variables cualitativas. 

El registro de los daos asociados a tales variables, su estructuración posterior análisis, permite obtener conclusiones importantes, a partir de la muestra seleccionada.

Para la caracterización de dos variables cualitativas se utilizan las tablas de:

• Tablas de contingencia
• Tablas marginales
• Diagrama de barras para dos variables

TABLA DE CONTINGENCIA:

 también puede definirse como una tabla de frecuencia porque la información contenida en cada una de las casillas corresponde a la cantidad de personas o individuos que poseen ambas características. Lo que sucede es que en la tabla de contingencia se ofrece una completa distribución de la información, pues permite tener diferentes clases que se pueden establecer para cada una de las variables en estudio.

DIAGRAMA DE BARRAS PARA DOS VARIABLES:

La representación gráfica de una tabla de contingencia corresponde a un diagrama de barras en el cual se relacionan las clases de las dos variables.

Otra forma de construir el diagrama de barras, es utilizando las barras correspondientes a las clases de una de las dos variables.

HISTOGRAMAS

Un Histograma es un tipo especial de gráfica de barras que despliega la variabilidad dentro de un proceso, también toma datos variables (tales como alturas, pesos, densidades, tiempo, temperaturas, etc.) y despliega su distribución. Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.

Tipos de histogramas:

· Diagramas de barras simplesRepresenta la frecuencia simple (absoluta o relativa) mediante la altura de la barra la cual es proporcional a la frecuencia simple de la categoría que representa.

· Diagramas de barras compuestaSe usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables, las cuales se representan así; la altura de la barra representa la frecuencia simple de las modalidades o categorías de la variable y esta altura es proporcional a la frecuencia simple de cada modalidad.

· Diagramas de barras agrupadasSe usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables, el cual es representado mediante un conjunto de barras como se clasifican respecto a las diferentes modalidades.

OJIVA:

La representación gráfica de un cuadro de frecuencia acumulada son curvas llamadas ojivas. En la grafica de ojiva, el ultimo intervalo no se une con el eje horizontal.

La ojiva apropiada para información que presente frecuencias mayores que el dato que se está comparando tendrá una pendiente negativa (hacia abajo y a la derecha) y en cambio la que se asigna a valores menores, tendrá una pendiente positiva. Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas mayor que y las ojivas menor que.

DIAGRAMA DE TALLO:

Permite obtener simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formará el tallo).

Esta representación de los datos es semejante a la de un histograma pero además de ser fáciles de elaborar, presentan más información que estos.

Gráficas de las funciones trigonométricas.

Líneas trigonométricas 

El circulo unitario se define como la circunferencia de radio (1) y centro el origen

Se utiliza para determinar algunas características de las funciones trigonométricas de forma grafica para ello se hace uso de las líneas trigonométricas que son diámetro de la recta que se construyen utilizando un triangulo recto contenido en el circulo unitario

La construcción del círculo permite ver el comportamiento de cada línea trigonométrica de acuerdo al valor del ángulo

Determinación de las líneas trigonométricas

Línea del seno: se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Línea del coseno: se define como la razón entre el cateto adyacente del ángulo

Línea de la tangente: sé extiende la hipotenusa del triangulo rectángulo hasta que se interseca con la recta tangente la linea que va desde el eje horizontal hasta el punto de intersección corresponde a la línea de la tangente.

Línea de la cotangente: De manera similar a la línea de la tangente, se traza una recta tangente a la circunferencia esta vez por el punto (0,1) y se halla la intersección entre esta recta y la hipotenusa, la línea desde el punto de intersección a el eje vertical es la línea de la cotangente

Línea de la secante: la línea que va desde el origen hasta el punto de intersección con la tangente sobre la recta de la hipotenusa corresponde a la línea trigonométrica de la tangente

Línea de la cosecante: de igual forma que la secante la línea que une el centro con el punto de intersección con la cotangente, es la línea trigonométrica de la cosecante.

Funciones trigonométricas: Aplicación

Solución de triángulos rectángulos 

Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos de este.

Para resolver un triángulo rectángulo es necesario encontrar los lados y los ángulos que se desconocen a través de los ya conocidos.

Recordemos que un Triángulo Rectángulo es aquel que está constituido por dos lados (Opuesto y Adyacente), Hipotenuesa y forma un ángulo de 90 grados (90°).

Mediante estas razones trigonométricas se pueden solucionar o resolver y triángulos rectángulos, es decir hallar cada uno de sus componentes (ángulos,lados o área).
Vamos a ver algunos caso de resolución de triángulos:

• Caso 1: Cuando se conoce la medida de un lado y un angulo:

Datos: 

cateto c = 10 m 

ángulo C = 40º 

Incógnitas:

hipotenusa a 

cateto b

El cateto conocido es el opuesto al ángulo que también conocemos y como queremos averiguar la hipotenusa, utilizamos la función seno:

sen 40º = 10 /a 

a . sen 40º = 10 

a = 10 / sen 40º

a= 10/ 0,64

a = 15,6 m

El cateto b es el adyacente al ángulo dado y como se conoce el opuesto al ángulo conocido, utilizamos la función tangente:

tan 40º = 10 / b 

b . tan 40º = 10 m 

b = 10 m / tan 40º 

b= 10/ o,84 

b = 11,9 m

• Caso 2: cuando se conocen dos lados del triangulo: 

Datos: 

cateto a = 50 

cateto b = 60

Incógnitas:

hipotenusa

ángulo

En el triángulo rectángulo para calcular la medida de un lado conociendo los otros dos, se utiliza el TEOREMA DE PITÁGORAS:

 

Con la calculadora reemplaza en esta fórmula por los datos y obtendrás:

c = 78,1              

ahora tenemos el valor de todos los lados solo falta calcular el angulo, para calcular el angulo, observemos que a es su cateto opuesto y b su cateto adyacente,entonces:

tan alfa = 50/60 

alfa = 39º

Solución de triángulos no rectángulos u oblicuángulos:

Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos.

Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de 90º. Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados, pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º.

Esta clase de triángulos se pueden solucionar por medio de dos leyes:

Ley del seno: 

«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»

Aplicaciones:

a) cuando conocemos dos ángulos y un lado
b) cuando conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos

-calculamos el angulo A, conocemos dos lados y el angulo opuesto a b:

a/ sen A = b/ sen B

4/ sen A= 5/ sen 30

sen A= 4(sen 30)/5

sen A= 4(0,5)/5

sen A= 2/5

sen A= 0,4

A= arc seno 0,4

A= 23,58º

ley del coseno: 

«El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

Caso 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

       

             

Caso 2: Tres lados-LLL

Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos.

       

       

Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

      

        

       

Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

              B ≈ 116.80°

Vectores:

Un vector tiene tres características esenciales: magnitud, dirección y sentido.

Los vectores se representan goemétricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura. 

Magnitud o modulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud ( número).

Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, y representa aángulo entre ella y un eje horizontal imaginario

Sentido: está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo).

Suma y resta de vectores por componentes: 

Éste método mejora la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento de las componentes del vector; además tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez, mediante un proceso algebraico.

El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de ésta operación es la componente en x del vector resultante.

De igual manera, se operan las componentes en y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante.

Obtenidas las componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector.

Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.

Note que θ para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a partir del eje x positivo (ángulos suplementarios).

Para el vector B, θ = 180º - 45º = 135º

Para el vector C, θ = 180º + 55º = 235º

Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C:

Ax = (200 N) cos (30º) = 173.20 N

Bx = (300 N) cos (135º) = - 212.13 N

Cx = (155 N) cos (235º) = - 88.90 N

Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C:

Ay = (200 N) sen (30º) = 100 N

By = (300 N) sen (135º) = 212.13 N

Cy = (155 N) sen (235º) = - 126.97 N

Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de ésta fuerza, a partir de una simple suma de componentes de fuerzas individuales.

Geometría analítica: Cónicas

¿Que es y que estudia la geometría analítica?

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo , donde es una función u otro tipo de expresión matemática.

Es muy importante conocer el plano cartesiano y los sistemas de coordenadas, para graficar un punto en el plano hay que saber que esta compuesto por dos números determinados , estas coordenadas se escriben así   y representan correspondientemente a la abscisa (distancia horizontal en el eje x) y ordenada (distancia vertical en el eje y).

"A cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano." 

Las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas, en particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado

Sección cónica: el corte de la superficie de un cono da lugar a lo que se denomina sección cónica que son:

• La parábola 
• La elipse
• la hipérbola 

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada generatriz,la parábola resulta de cortar un cono recto.

Una parábola  cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas se expresa mediante la ecuación:

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto de su eje de revolución. 

                                                               

Se representa mediante la ecuación:

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución tiene por expresión: