Funciones trigonométricas: Aplicación

Solución de triángulos rectángulos 

Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos de este.

Para resolver un triángulo rectángulo es necesario encontrar los lados y los ángulos que se desconocen a través de los ya conocidos.

Recordemos que un Triángulo Rectángulo es aquel que está constituido por dos lados (Opuesto y Adyacente), Hipotenuesa y forma un ángulo de 90 grados (90°).

Mediante estas razones trigonométricas se pueden solucionar o resolver y triángulos rectángulos, es decir hallar cada uno de sus componentes (ángulos,lados o área).
Vamos a ver algunos caso de resolución de triángulos:

• Caso 1: Cuando se conoce la medida de un lado y un angulo:

Datos: 

cateto c = 10 m 

ángulo C = 40º 

Incógnitas:

hipotenusa a 

cateto b

El cateto conocido es el opuesto al ángulo que también conocemos y como queremos averiguar la hipotenusa, utilizamos la función seno:

sen 40º = 10 /a 

a . sen 40º = 10 

a = 10 / sen 40º

a= 10/ 0,64

a = 15,6 m

El cateto b es el adyacente al ángulo dado y como se conoce el opuesto al ángulo conocido, utilizamos la función tangente:

tan 40º = 10 / b 

b . tan 40º = 10 m 

b = 10 m / tan 40º 

b= 10/ o,84 

b = 11,9 m

• Caso 2: cuando se conocen dos lados del triangulo: 

Datos: 

cateto a = 50 

cateto b = 60

Incógnitas:

hipotenusa

ángulo

En el triángulo rectángulo para calcular la medida de un lado conociendo los otros dos, se utiliza el TEOREMA DE PITÁGORAS:

 

Con la calculadora reemplaza en esta fórmula por los datos y obtendrás:

c = 78,1              

ahora tenemos el valor de todos los lados solo falta calcular el angulo, para calcular el angulo, observemos que a es su cateto opuesto y b su cateto adyacente,entonces:

tan alfa = 50/60 

alfa = 39º

Solución de triángulos no rectángulos u oblicuángulos:

Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos.

Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de 90º. Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados, pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º.

Esta clase de triángulos se pueden solucionar por medio de dos leyes:

Ley del seno: 

«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»

Aplicaciones:

a) cuando conocemos dos ángulos y un lado
b) cuando conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos

-calculamos el angulo A, conocemos dos lados y el angulo opuesto a b:

a/ sen A = b/ sen B

4/ sen A= 5/ sen 30

sen A= 4(sen 30)/5

sen A= 4(0,5)/5

sen A= 2/5

sen A= 0,4

A= arc seno 0,4

A= 23,58º

ley del coseno: 

«El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

Caso 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

       

             

Caso 2: Tres lados-LLL

Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos.

       

       

Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

      

        

       

Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

              B ≈ 116.80°

Vectores:

Un vector tiene tres características esenciales: magnitud, dirección y sentido.

Los vectores se representan goemétricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura. 

Magnitud o modulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud ( número).

Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, y representa aángulo entre ella y un eje horizontal imaginario

Sentido: está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo).

Suma y resta de vectores por componentes: 

Éste método mejora la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento de las componentes del vector; además tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez, mediante un proceso algebraico.

El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de ésta operación es la componente en x del vector resultante.

De igual manera, se operan las componentes en y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante.

Obtenidas las componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector.

Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.

Note que θ para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a partir del eje x positivo (ángulos suplementarios).

Para el vector B, θ = 180º - 45º = 135º

Para el vector C, θ = 180º + 55º = 235º

Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C:

Ax = (200 N) cos (30º) = 173.20 N

Bx = (300 N) cos (135º) = - 212.13 N

Cx = (155 N) cos (235º) = - 88.90 N

Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C:

Ay = (200 N) sen (30º) = 100 N

By = (300 N) sen (135º) = 212.13 N

Cy = (155 N) sen (235º) = - 126.97 N

Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de ésta fuerza, a partir de una simple suma de componentes de fuerzas individuales.